Sistemas de Ecuaciones - Junior Alvaro

martes, 19 de febrero de 2019

Sistemas de Ecuaciones


Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:
sistemas_ecuaciones017
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .
El conjunto de ecuaciones:
sistemas_ecuaciones002
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
sistemas_ecuaciones003
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman tambiénsistema de ecuaciones cuadráticas .
El sistema de ecuaciones sistema_ecuaciones001 es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales .

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones004

Se despeja en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
sistemas-ecuaciones005
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x  + 2(3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones006
Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita . Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la ).  Luego hacemos lo mismo con la .

Se elimina la :
sistemas_ecuaciones007
Se elimina la :
sistemas-ecuaciones008

Método de igualación
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver
sistemas_ecuaciones009

Despejamos x en la primera ecuación:
sistemas_ecuaciones010
Despejamos en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
sistemas_ecuaciones011
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
sistemas_ecuaciones012

Despejamos , por ejemplo, la incógnita de la primera y segunda ecuación:
sistemas_ecuaciones013

Igualamos ambas expresiones:
sistemas_ecuaciones014
Luego, resolvemos la ecuación:
sistemas_ecuaciones015

Sustituimos el valor de , en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x :
sistemas_ecuaciones016

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Fuente Internet: