Ver: Intervalos
Aprendimos que existen intervalos abiertos , que son aquellos en que no se incluyen los extremos; intervalos cerrados , aquellos en que se incluyen los extremos, e intervalos que combinan extremos abierto con cerrado .
Si el valor de un extremo no se incluye en la representación de un intervalo se utiliza una circunferencia vacía en dicho extremo; en cambio, si el valor se incluye, se utiliza una circunferencia rellena .
El dibujo superior grafica el intervalo entre todos los números (x) mayores que 7 (x > 7), excluido el 7, hasta el infinito (+ ∞)
Este dibujo grafica el intervalo entre los números (x) mayores o iguales a 7 (x ≥ 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ∞).
Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o > (mayor que) ; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o igual que) .
Cuando se trata de valores menor que o mayor que (o sea que no incluyen sus extremos) se puede utilizar el símbolo ( ), para anotar el par ordenado de que se trate.
Y cuando se trata de valores igual o menor e igual o mayor que (o sea que incluyan sus extremos) se puede utilizar el símbolo [ ].
Una vez que dominamos la representación gráfica de los intervalos podemos hacer algunas operaciones con ellos.
Podemos hacer uniones entre intervalos e intersecciones entre intervalos.
Unión de intervalos
La unión de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que están en el intervalo A o bien están en el intervalo B o bien están en los dos intervalos a la vez.
Se representa con el símbolo ∪. Por ejemplo, la unión de dos intervalos se puede representar así:
Cómo calcular la unión de dos intervalos
Vamos a ver ahora cómo calcular la unión de dos intervalos, al mismo tiempo que resolvemos unos ejemplos.
Empezamos por el primero:
En la recta numérica el primer intervalo (abajo, coloreado en rojo) comienza en -5 (abierto por la izquierda, marcado con circunferencia vacía) y termina en cero (cerrado por la derecha, marcado con circunferencia llena).
En la misma recta, representamos el segundo intervalo (abajo, coloreado en azul), que comienza en -1 (abierto por la izquierda, marcado con circunferencia vacía) y sigue hasta infinito, que siempre indicará un intervalo abierto y por tanto no se incluye en el intervalo:
La unión de estos dos intervalos corresponde con la parte coloreada de la recta, desde el comienzo del rojo hasta el azul infinito.
Veamos el segundo ejemplo:
Representamos el primer intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la izquierda, por lo que ponemos un punto lleno en -1, y abierto por la izquierda, por lo que en 3 dibujamos un punto vacío:
Representamos el segundo intervalo (2,4) en la misma recta. Es un intervalo abierto en ambos extremos, por lo que empieza en 2 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío:
La unión de los dos intervalos es la parte de la recta que se queda coloreada de algún color (o de ambos). En este caso empieza en -1 con un punto lleno y termina en 4 con un punto vacío, por tanto, el intervalo será cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:
Unión de intervalos separados
En el ejemplo anterior, la unión se hace entre intervalos que se cruzan o están juntos; pero hay casos donde los intervalos están separados en la recta real; como, por ejemplo, el siguiente:
Si representamos ambos intervalos en la recta numérica nos queda:
En este caso, la unión de intervalos no se refleja en uno solo, y la unión sigue siendo la unión de dos intervalos. No hay otra forma de expresarlo:
Intersección de intervalos
La intersección de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que son comunes en el intervalo A y en el intervalo B.
Se representa con el símbolo ∩. Por ejemplo, la intersección de dos intervalos se puede representar así:
O también así:
Cómo calcular la intersección de dos intervalos
Para calcular la intersección de dos intervalos, deben graficarse ambos en la misma recta numérica, y la intersección de ellos corresponderá con la porción de la recta donde coinciden los dos intervalos.
Veamos esto con el primer ejemplo:
El primer intervalo (-4,3] en la recta, comienza en -4 con un punto vacío rojo (abierto por la izquierda) y termina en 3 con un punto lleno rojo [cerrado por la derecha]:
En la misma recta, el segundo intervalo (0,2], comienza en 0 con un punto vacío azul (abierto por la izquierda) y termina en 2 con un punto lleno azul [cerrado por la derecha]:
La parte donde coinciden los dos colores es la intersección de los intervalos.
En este caso, el tramo donde coinciden los dos intervalos empieza en 0 con un punto vacío (abierto por la izquierda) y termina en 2 con un punto lleno [cerrado por la derecha].
Por tanto, la intersección de intervalos es:
Veamos el otro ejemplo:
Graficamos el primer intervalo [-2,2), que empieza en -2, con un punto lleno [cerrado por la izquierda], y termina en 2, con un punto vacío (abierto por la derecha).
En la misma recta numérica representamos el segundo intervalo (1,4) que empieza en -1 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío, al ser un intervalo abierto:
La intersección de intervalos es la parte común a los dos intervalos. En este caso, la parte común empieza en 1 y termina en 2.
En, el 1 hay un punto vacío por el segundo intervalo; por lo tanto, queda abierto por la izquierda.
El 2 tiene un punto vacío por el primer intervalo; por lo tanto, queda abierto por la derecha.
La intersección de ambos intervalos nos queda entonces:
Intersección de intervalos separados
Veamos cómo calcular la intersección de dos intervalos cuando estos se encuentran separados en la recta real.
Por ejemplo:
Representados ambos intervalos en la recta real nos queda:
Vemos que los intervalos no tienen ningún punto en común, luego la intersección de intervalos sería el conjunto vacío:
