Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.
Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir
Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.
· Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b
· Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b
1) Ecuaciones aditivas : a + x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades , que textualmente dice:
| Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene . |
Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:
1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).
2. Se realiza la operación indicada.
Ejemplo: 28 + x = 13 / – 28
El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.
28 + x + – 28 = 13 + – 28
Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse .
28 + –28 = 0
Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).
13 + –28 = –15
Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:
28 + x = 13 / – 28
28 + x + – 28 = 13 + – 28
x + 0 = –15
x = –15
Otros ejemplos:
1) 60 – 37 = 84 + x
23 = 84 + x / – 84
23 + – 84 = 84 + x + – 84
– 61 = 0 + x
x = –61
2) x + 3 – 2 = 7
x + 1 = 7
x + 1 + –1 = 7 + -1 / –1
x + 0 = 6
x = 6
2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades , que dice textualmente:
| Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene. |
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.
Los pasos son los siguientes:
1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).
Ejemplo: 15 • x = 75 / :15 (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)
15 • x : 15 = 75 : 15
2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.
Reordenado los números se tiene: 15 : 15 • x = 75 : 15
1 • x = 5
x = 5
Otro ejemplo:
3 • x = 81
3 • x = 81 / : 3
3 • x : 3 = 81 : 3
3 : 3 • x = 27
1 • x = 27
x = 27
¿ Qué sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?
Ejemplo: 2x + 2 + 3 = 4x – 1
Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.
Esto significa sumar números con números y factores literales con factores literales ( letras iguales, exponentes iguales); en este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más términos semejantes
2x + 5 = 4x – 1 / –5
A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita, en este caso se debe sumar el inverso aditivo de 5 ( -5 ) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.
2x + 5 + –5 = 4x - 1 + –5
2x + 0 = 4x + –6
2x = 4x + –6
Luego, debe sumarse el inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.
2x = 4x + –6 / – 4x
2x + – 4x = 4x + –6 + – 4x
– 2x = 4x + – 4x + –6
– 2x = 0 + –6
– 2x = –6
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por – 2. Fíjate que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).
– 2x : – 2 = –6 : – 2
1x = 3
x = 3
Otro ejemplo:
5x – 3 = 2x + 6
1) Se suman o restan números con números y letras con letras en cada miembro de la ecuación. Como no hay términos semejantes en este caso, se continúa con el segundo paso.
5x – 3 + + 3 = 2x + 6 + + 3 / +3
5x + 0 = 2x + 9
2) Sumar el inverso aditivo (sumar a ambos lados de la ecuación el número que resta o suma a la “x”)
5x = 2x + 9
Ahora falta sumar el inverso aditivo de 2x (-2x)
5x + – 2x = 2x + – 2x + 9 /–2x3x = 0 + 93x = 9
3) Dividir a ambos lados de la ecuación por el número que acompaña a la incógnita (3). Inverso multiplicativo.
3x ÷ 3 = 9 ÷ 33 ÷ 3x = 9 / 3 (Recuerda que el símbolo de división, ÷, también se puede representar como /).x = 3
Nota : Todas las ecuaciones vistas hasta ahora son de Primer Grado (el exponente de la incógnita es 1) y pertenecen al Conjunto de los Números Enteros (los coeficientes numéricos son números positivos y negativos). Más adelante se estudiará la forma de resolver ecuaciones en el Conjunto de los Números Racionales.
