También se las puede identificar como simultáneas, dobles o de tres partes .
En cualquier caso, se trata de dos o más inecuaciones que tienen soluciones comunes ; esto es, que hay un valor o valores para x que sirven, simultáneamente, para todas.
Encontrar esos valores para x es lo que llamamos “encontrar los límites” o “encontrar la solución” común para esas inecuaciones.
En los ejercicios sobre esta materia, las inecuaciones pueden presentarse en forma separada o conformando un todo, pero siempre buscando una solución común.
Además, debemos saber que dicha solución puede presentarse en forma desarrollada , como una inecuación, o en forma gráfica , con intervalos.
Antes de continuar, es preciso repasar la materia en:
Inecuaciones dobles y separadas
Para entrar en materia con las inecuaciones simultáneas, primero veremos cómo se resuelve un caso con dos inecuaciones presentadas en forma separada:
Veamos un ejemplo:
Ejercicio 1)
Hallar el límite de las soluciones comunes para las inecuaciones
4x – 8 > 8 y 6x + 8 > 14
Primero resolvemos cada inecuación en forma separada:
Primera inecuación: 4x – 8 > 8
4x > 8 + 8 (colocamos a la izquierda los valores con incógnita y a la derecha los números)
Resolvemos
4x > 16
x >16/4
x > 4 (para la primera inecuación, lo cual significa que cualquier número mayor que 4 hasta el infinito es solución)
Entonces x E (4, + ∞) (x pertenece a los naturales desde mayor que 4 (lo cual excluye al 4) hasta el infinito. Recuerden que el paréntesis antes del 4 indica que el 4 está excluido en el intervalo.
Segunda inecuación: 6x + 8 > 14
6x > 14 – 8 (colocamos a la izquierda los valores con incógnita y a la derecha los números).
Resolvemos
6x > 6
x > 6/6
x > 1 (para la segunda inecuación, lo cual significa que cualquier número mayor que 1 hasta el infinito es solución)
Entonces x E (1, + ∞) (x pertenece a los naturales desde mayor que 1 (lo cual excluye al 1) hasta el infinito. Recuerden que el paréntesis antes del 1 indica que el 1 está excluido en el intervalo.
Nuestra solución final para ambas inecuaciones sería
x > 1 > 4 (x mayor que 1, pero mayor que 4); por lo tanto, nuestra solución general es
x > 4 (equis mayor que 4, ya que cualquier valor mayor que 4 será mayor que 1)
Así, cualquier valor superior a 4 (hasta el infinito) es solución para ambas inecuaciones y 4 es el límite inferior de las soluciones comunes e infinito el límite superior.
Ahora veamos la solución para estas inecuaciones, pero presentadas como intervalo en la recta numérica:
Sabemos, por que ya lo calculamos, que
x Ε (1, + ∞) y x Ε (4, + ∞)
Para la primera x, ponemos un círculo en blanco sobre el 1 y prolongamos una recta hacia la derecha, que llegará hasta el infinito. El círculo sin relleno indica que el 1 queda excluido de las soluciones.
Para la segunda x, ponemos un círculo en blanco sobre el 4 y prolongamos una recta hacia la derecha, que llegará hasta el infinito. El círculo sin relleno indica que el 4 queda excluido de las soluciones.
Y la solución general se encuentra a partir de la superposición de los intervalos: desde mayor que 4 (marcado por la raya vertical puesta a modo de guía, pero excluyendo al 4) hasta el infinito.
Respuesta general: x E (4, + ∞) , siendo 4 el límite inferior.
Significa que cualquier número superior al 4 sirve como solución para ambas inecuaciones.
Ejercicio 2)
Hallar el límite de las soluciones comunes de
3x + 4 < 16 y –6 – x > –8
Primero resolvemos cada inecuación en forma separada:
Primera inecuación: 3x + 4 < 16
3x < 16 – 4
3x < 12
x < 12/3
x < 4 (x menor que 4 para la primera inecuación, lo que excluye al 4).
Segunda inecuación: –6 – x > –8
– x > – 8 + 6
– x > – 2 (amplificamos por –1 para eliminar los negativos, pero debemos cambiar el signo de desigualdad) y queda
x < 2 (x menor que 2 para la segunda inecuación, lo que excluye al 2).
Entonces, x < 2 es la Solución General de ambas inecuaciones, porque todos los valores de “x” menores de 2 son también menores de 4
Por tanto, 2 es el límite superior de las soluciones comunes.
Inecuaciones o desigualdades dobles o de tres partes .
En estos ejemplos, las desigualdades se presentan como un todo, que consta de tres partes.
La incógnita de la desigualdad puede estar solo en el centro o también tanto en el centro como en las partes exteriores.
Para resolver este tipo de inecuaciones simultáneas (de tres partes) necesitamos escribirlas como dos desigualdades separadas y encontrar los valores de “x” que satisfagan a ambas (tal como vimos en el caso anterior).
Inecuación o desigualdad lineal con la incógnita al centro y a un lado .
Veamos el siguiente ejemplo:
–2x + 3 ≤ 4x + 1 < 2x + 9
Lo primero es separar la desigualdad de tres partes para convertirla en dos desigualdades, con un lado en común:
Primera desigualdad: –2x + 3 ≤ 4x + 1
Segunda desigualdad: 4x + 1 < 2x + 9
Y las resolvemos en forma separada:
–2x + 3 ≤ 4x + 1
–2x – 4x ≤ 1 – 3
–6x ≤ –2 (amplificamos por –1, esto cambia los signos, pero debemos cambiar el signo desigualdad)
x ≥ 2/6
x ≥ 1/3 (x igual o mayor a 1/3 es la primera solución)
4x + 1 < 2x + 9
4x – 2x < 9 – 1
2x < 8
x < 8/2
x < 4 (x menor que 4 es la segunda solución)
Entonces, la respuesta general es que x debe ser igual o mayor que 1/3, pero menor que 4: 1/3 ≤ x < 4
Nuestra respuesta desarrollada podemos obtenerla gráficamente usando intervalos en la recta numérica:
En azul x ≥ 1/3 (x igual o mayor a 1/3) hasta el infinito positivo (+)
En rojo x < 4 (x menor que 4) hasta el infinito negativo ( – )
En la figura, la parte común achurada indica la solución:
Que se expresa como: x E [1/3, 4) equis pertenece a los reales desde 1/3 (incluido, lo indica el corchete) hasta 4 (excluido, lo indica el paréntesis)
Que se expresa como: x E [1/3, 4) equis pertenece a los reales desde 1/3 (incluido, lo indica el corchete) hasta 4 (excluido, lo indica el paréntesis)
