Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita , que suele ser la x .
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0 , por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas) , que se caracterizan porque pueden tenerdos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax 2 + bx + c = 0
Donde a , b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b , y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x 2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x 2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c , no se escribe, no está)
–6x 2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0 , c = 10 (el cero equis, la b , no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x 2 + 5x − 12 = 0
2x 2 + 5x = 12
2x 2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x :
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Soluciones:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b) 2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) 2 , es el cuadrado de la suma de un binomio .
Partiendo de una ecuación del tipo
x 2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
por ejemplo, la ecuación
x 2 + 8x = 48 , que también puede escribirse x 2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x 2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b) 2
(ax + b) 2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
(ax) 2 + 2axb + b 2
En nuestro ejemplo
x 2 + 8x = 48 , el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a 2 + 2ab + b 2 ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 2 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x 2 + 8x + 16 = 48 + 16
x 2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4) 2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4) 2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x 2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x 2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x 2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b) 2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos 
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x 2 + 6x = 16
x 2 + 6x + 9 = 16 + 9
x 2 + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3) 2 = 25
La expresión x 2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3) 2 , y así la ecuación se resuelve con facilidad:
La expresión x 2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3) 2 , y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
, y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 5 2 = 5 y también (−5) 2 = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8 .
Otro ejemplo para analizar y estudiar:
Resolver la ecuación: x 2 – 6x + 8 = 0
Veamos: Con los términos x 2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:
x 2 – 6x = − 8
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:
¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo
x 2 – 6x = −8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)
x 2 − 6x + 9 = − 8 + 9
(x – 3) 2 = 1
Extraemos las raíces cuadradas
y queda
x – 3 = 1 y x − 3 = −1
Si
x – 3 = 1
x = 1 + 3
x = 4
Si
x – 3 = −1
x = −1 + 3
x = 2
Por lo tanto x 1 = 4 y x 2 = 2
Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a ,b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta , y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 2x 2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5 , así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
y también 
Así es que las soluciones son 
.
.Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión 
. Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando ( b 2 − 4ac ) sea positivo o cero.
. Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando ( b 2 − 4ac ) sea positivo o cero.
El radicando b 2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ . El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.
Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:
Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.
Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 , positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a, y b son los coeficientes de los términos x 2 y x , respectivamente y c es el término independiente.
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b , y c son distintos de cero.
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b , y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
ax 2 + bx + c = 0 .
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c , o ambos, son cero.
(Si a = 0 , la ecuación resultante sería bx + c = 0 , que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax 2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax 2 + bx = 0; si c = 0.
ax 2 + c = 0; si b = 0.
Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x 2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x , de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6 .
Se aplica la fórmula:
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:
Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X 1 y X 2 a las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación .
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0 , tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con
, se tiene
Probando con
, se tiene
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y
son las raíces de − 5x 2 + 13x + 6 = 02.- Resolver: 6x − x 2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x 2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:
El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x 1 = x 2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado .
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x , la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x , es decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x 2 + (10 - x) 2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b) 2 = a 2 − b 2 , lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b) 2 = a 2 − 2•a•b + b 2
Desarrollando la ecuación se tiene: x 2 + 10 2 − 2•10•x + x 2 = 58 = x 2 + 100 − 20•x + x 2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x 2 − 20•x+ 42 = 0 ;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x 2 − 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x 1 = 7 y x 2 = 3 .
Veamos, si tenemos
a = 1, b = −10 c = 21
L os números buscados son 7 y 3 .
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que:
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x • (x + 3 ) = área de la sala.
Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x 2 + 5x + 3x + 15 = 2x 2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x 2 + 5x + 3x + 15 − 2x 2 − 6x = 0
Se simplifica: − x 2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.
Se aplica la fórmula conocida y resulta: x 1 = 5 y x 2 = −3 .
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original ( x ) era 5 metros.
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m 2 .
Problema 3
Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras : "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c 2 = a 2 + b 2 ). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3) 2 + (x − 4) 2 = (2x − 5) 2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x 2 + 2 • 3 • x + 3 2 + x 2 − 2 • 4 • x + 4 2 = (2x) 2 − 2 • (2x) • 5 + 5 2 = x 2 + 6x + 9 + x 2 − 8x + 16 = 4x 2 − 20x + 25
Reagrupando:
x 2 + 6x + 9 + x 2 − 8x + 16 − 4x 2 + 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x 2 + 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x 1 = 0 y x 2 = 9 .
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9 . De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m .
Nota final:
Cada método de solución es aplicable según sea la naturaleza de la ecuación cuadrática, pero siempre es posible aplicar el método de completación de cuadrado de binomio y el de la aplicación de la fórmula de las soluciones generales de una ecuación cuadrática.
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